\chapter{Определённый интеграл}
\section{Основные определения и свойства}
  Пусть \(f : [a, b] \to \realnum\); \[
    \lim\limits_{h \to 0}\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} = f(x_0)
  \].
  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \draw[-latex] (0, 0) -- (5, 0);
      \draw[-latex] (0, 0) -- (0, 5);
      \draw plot[smooth] coordinates {(1, 2) (2, 3) (3, 1) (4, 4)};
      \draw (2, -0.1) node[below left] {\(a\)} -- (2, 5);
      \fill[pattern=north west lines] (2, 0) rectangle (2.1, 3);
      \draw (2.1, -0.1) node[below right]{\(x_0\)} -- (2.1, 5);
    \end{tikzpicture}
  \end{figure}
  Определим \(S(x_0)\) -- площадь подграфика между \(a\) и \(x_0\). Оказывается,
  что \[
    \lim\limits_{h \to 0}\frac{S(x_0 + h) - S(x_0)}{h} = f(x_0)
  \]. Правда непонятно пока, что именно такое площадь. Формализовал это Беркхард
  Риман.
  
  \definition[разбиение]{
    Набор точек \(\tau = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}\), таких что \(a = x_0 < x_1
    < x_2 < \ldots < x_{n - 1} < x_n = b\) называется \defined{разбиением}
    отрезка \([a, b]\).
  }
  Для удобства, обозначим \(\Delta_k = [x_{k - 1}, x_k]\), \(\abs{\Delta_k} = x_{k}
  - x_{k - 1}\).
  \definition[ранг разбиения]{
    Число \(\lambda(\tau) = \max\limits_{k = 1}^{n}(\abs{\Delta_k})\) будем называть
    \defined{рангом разбиения}.
  }
  
  Построим набор \(\xi = \{\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_n\} : \xi_k \in \Delta_k\).
  Теперь заметим, что для каждого \(\Delta_k\) \(S \approx f(\xi_k)(x_k - x_{k -
  1})\). Осталось их просуммировать, и получим что-то похожее на площадь всего
  графика.
  \definition[сумма Римана]{
    Сумма вида \[
      S(\tau, \xi, f) \equiv \sum\limits_{k = 1}^{n}f(\xi_k)(x_k - x_{k - 1})
    \] называется \defined{Римановой}.
  }
  \definition[интегрируемость по Риману]{
    \defined[интеграл Римана]{Интегралом Римана} от функции \(f\) на отрезке
    \([a, b]\) называется предел \[
      \int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} S(\tau, \xi, f)
    \]. Функция \(f\) называется \defined{интегрируемой по Риману} (в дальнейшем
    просто <<интегрируемой>>), если этот предел существует.
  }

  \begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=2]
      \node (x1) at (0, 1){};
      \node (x2) at(0.2, 1.15){};
      \node (x3) at (0.4, 1.30){};
      \node (x4) at (0.6, 1.40){};
      \node (x5) at (0.8, 1.47){};
      \node (x6) at (1, 1.43){};
      \node (x7) at(1.2, 1.37){};
      \node (x8) at(1.4, 1.25){};
      \node (x9) at(1.6, 1.1){};
      \node (x10) at(1.8, 1.12){};
      \node (x11) at(2.0, 1.4){};
      \draw[-latex] (0, 0) -- (2.3, 0) node[below]{\(x\)};
      \draw[-latex] (0, 0) -- (0, 2) node[left]{\(f(x)\)};
      \fill[pattern=north west lines] (0, 0) rectangle (0.1, 1);
      \fill[pattern=north west lines] (0.1, 0) rectangle (0.3, 1.15);
      \fill[pattern=north west lines] (0.3, 0) rectangle (0.5, 1.30);
      \fill[pattern=north west lines] (0.5, 0) rectangle (0.7, 1.40);
      \fill[pattern=north west lines] (0.7, 0) rectangle (0.9, 1.47);
      \fill[pattern=north west lines] (0.9, 0) rectangle (1.1, 1.43);
      \fill[pattern=north west lines] (1.1, 0) rectangle (1.3, 1.37);
      \fill[pattern=north west lines] (1.3, 0) rectangle (1.5, 1.25);
      \fill[pattern=north west lines] (1.5, 0) rectangle (1.7, 1.1);
      \fill[pattern=north west lines] (1.7, 0) rectangle (1.9, 1.12);
      \fill[pattern=north west lines] (1.9, 0) rectangle (2.1, 1.4);
      \draw (0, 0) rectangle (0.1, 1);
      \draw (0.1, 0) rectangle (0.3, 1.15);
      \draw (0.3, 0) rectangle (0.5, 1.30);
      \draw (0.5, 0) rectangle (0.7, 1.40);
      \draw (0.7, 0) rectangle (0.9, 1.47);
      \draw (0.9, 0) rectangle (1.1, 1.43);
      \draw (1.1, 0) rectangle (1.3, 1.37);
      \draw (1.3, 0) rectangle (1.5, 1.25);
      \draw (1.5, 0) rectangle (1.7, 1.1);
      \draw (1.7, 0) rectangle (1.9, 1.12);
      \draw (1.9, 0) rectangle (2.1, 1.4);
      \draw[red] plot[smooth, tension=1] coordinates {(x1) (x2) (x3) (x4) (x5) (x6) (x7) (x8) (x9) (x10) (x11)};
    \end{tikzpicture}
  \end{figure}

  Примеры:
  
  \(f(x) = C\), \(x \in [a, b]\)
  \begin{align*}
    \int\limits_{a}^{b} Cdx = C(b - a)
  \end{align*}
  
  Пример неинтегрируемой функции -- функция Дирихле: \[
    f(x) = \left\{\begin{array}{l r}
      0 & x \notin \mathbb{Q} \\
      1 & x \in \mathbb{Q}
    \end{array}\right.
  \]. Попробуем построить площадь: \[
    S(x) = \left\{\begin{array}{l r}
      \xi_k \in \mathbb{Q} & 1 \\
      \xi_k \notin \mathbb{Q} & 0
    \end{array}\right.
  \]. Если все \(\xi_k\) окажутся иррациональными, то определим площадь,
  например, как единицу. Если же все они рациональные, то пусть будет ноль.  Так
  как на сколь угодно малом отрезке существует бесконечно много как
  иррациональных, так и рациональных чисел, мы не получим в пределе что-то
  определённое, то есть предел не будет существовать.
  \subsection{Свойства интеграла Римана}
    \begin{enumerate}
      \item
        Если \(f\) не ограниченна, то она неинтегрируема.
        \begin{proof}
          Пусть \(f\) неограниченна сверху. Рассмотрим сумму Римана.  Поскольку
          \([a, b] = \bigcup\limits_{k=1}^{n}\Delta_k\), \(f\) окажется
          неограниченной на некотором отрезке \(\Delta k\).  Выбором \(\xi_k \in
          \Delta_k\) можем добиться того, чтобы \(f(\xi_k)(x_k - x_{k - 1})\)
          принимало сколь угодно большие значения (\((x_k - x_{k - 1})\) не
          меняется, так как набор \(\tau\) зафиксирован).
          
          Тогда и \(S(\tau, \xi, f)\) принимает сколь угодно большие значения, а
          значит, что предел \(\lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} S(\tau, \xi,
          f)\) не может существовать.
        \end{proof}
        
        Переформулируем свойство, чтобы оно лучше запоминалось: \emph{все
        интегрируемые функции ограничены}.
      \item
        Однородность. Если \(f(x)\) интегрируема на \([a, b]\), \(C \in
        \realnum\), то и \(Cf(x)\) тоже интегрируема на \([a,b]\) и \[
          \int\limits_{a}^b Cf(x)dx = C\int\limits_a^b f(x)dx
        \].
        \begin{proof}
          Какими бы ни были \(\tau\) и \(\xi\), общий множитель в сумме Римана
          можно вынести за знак суммы и знак предела.
        \end{proof}
      \item
        Аддитивность. Если \(f(x)\) и \(g(x)\) -- интегрируемы на \([a,b]\) то
        \(f(x)\pm g(x)\) тоже интегрируемы на \([a, b]\) и \[
          \int\limits_{a}^b f(x)\pm g(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx \pm \int\limits_a^b g(x)dx
        \].
      \item
        Сохранение знака. Пусть \(f(x) : [a, b] \to \realnum\), интегрируема;
        \(\forall{x\in [a,b]}~f(x) \ge 0\). Тогда и \(\int\limits_a^b f(x)dx \ge
        0\).
        \begin{proof}
          \(S(\tau, \xi, f)\) оказывается неотрицательным из-за \(f(x) \ge 0\);
          дальше используем терему о предельном переходе в неравенстве.
        \end{proof}
      \item
        Монотонность. \(f, g : [a, b] \to \realnum\) -- интегрируемые функции;
        \(\forall{x \in [a,b]} ~f(x) \ge g(x)\).  Тогда \[
          \int\limits_a^b f(x)dx \ge \int\limits_a^b g(x)dx
        \].
        \begin{proof}
          Интеграл разности функций (неотрицательный) равен разности интегралов.
        \end{proof}
      \item
        Неравенство треугольника. \(f : [a, b] \to \realnum\) -- интегрируема.
        Если \(\abs{f(x)}\) тоже окажется интегрируемой\footnote{а она окажется,
        и скоро мы это докажем}, то \[
          \abs{\int\limits_a^b f(x)dx} \le \int\limits_a^b \abs{f(x)}dx
        \].
        \begin{proof}
          Всегда верно, что \[
            -\abs{f(x)} \le f(x) \le \abs{f(x)}
          \]. Из предположения и предыдущего свойства следует \[
            -\int\limits_a^b \abs{f(x)}dx \le \int\limits_a^b f(x)dx \le
            \int\limits_a^b \abs{f(x)}dx
          \].
        \end{proof}
      \item
        Первая теорема о среднем значении. \(f, g : [a, b] \to \realnum\); \(f\)
        -- непрерывная\footnote{потом окажется, что все непрерывные функции
        интегрируемы, но пока потребуем явно}, \(g(x)\) сохраняет знак. \(f\cdot
        g\) и \(g\) -- интегрируемы. Тогда \[
          \exists{c \in [a,b]} : \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = f(c) \int
          \limits_a^b g(x)dx
        \].
        \begin{proof}
          Введём обозначения:
          \begin{align*}
            \mathcal{M} &\equiv \max\limits_{[a, b]} f(x) & m &\equiv \min\limits_{[a, b]} f(x)
          \end{align*}
          Пусть для определённости \(\forall{x \in [a, b]} ~ g(x) \ge 0\).
          Тогда можно домножить \(m \le f(x) \le \mathcal{M}\) на \(g(x)\) с
          сохранением знака:
          \begin{align*}
            mg(x) \le &f(x)g(x) \le \mathcal{M} g(x)\\
            \int\limits_a^b mg(x)dx \le \int\limits_a^b &f(x)g(x)dx \le \int\limits_a^b \mathcal{M}g(x)dx\\
            m\int\limits_a^b g(x)dx \le \int\limits_a^b &f(x)g(x)dx \le \mathcal{M}\int\limits_a^b g(x)dx
          \end{align*}
          Теперь либо \(\int\limits_a^b g(x)dx = 0\) -- тогда подойдёт любое
          \(c\), либо \(\int\limits_a^b g(x)dx > 0\) и имеем право разделить:
          \begin{align*}
            m \le &\frac{\int\limits_a^b f(x)g(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx} \le \mathcal{M}\\
            \min_{x \in [a, b]}f(x) \le &\frac{\int\limits_a^b f(x)g(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx} \le \max_{x \in [a,b]}f(x)
          \end{align*}
          Теперь мы имеем промежуточное значение, а значит, так как функция
          непрерывна, по теореме Больцано-Коши, найдётся аргумент, который его
          порождает: \[
            \exists{c \in [a, b]} : f(c) = \frac{\int\limits_a^b f(x)g(x)dx}{\int\limits_a^b g(x)dx}
          \].
        \end{proof}
      \item
        Аддитивность интеграла по промежутку.  Пусть \(f : [a, c] \to
        \realnum\), \(b \in (a, c)\); \(f\) интегрируема на отрезке \([a, b]\) и
        на отрезке \([b, c]\). Тогда \(f\) интегрируема на отрезке \([a, c]\) и \[
          \int\limits_a^c f(x)dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_b^c f(x)dx
        \].
        \begin{proof}
          \(f\) интегрируема, следовательно и ограничена на \([a, b]\) и на
          \([b, c]\), значит \(f\) ограничена на \([a, c]\).  Тогда введём такие
          обозначения:
          \begin{align*}
            \mathcal{M} &\equiv \max\limits_{x \in [a, c]} f(x) & I_1 &\equiv \int\limits_a^bf(x)dx \\
            m &\equiv \min\limits_{x \in [a, c]} f(x) & I_2 &\equiv \int\limits_b^cf(x)dx 
          \end{align*}
          Также будем приписывать индекс 1 отрезку \([a, b]\), а 2 -- \([b, c]\).
          
          Рассмотрим некоторое \(\varepsilon_0 > 0\). По определению интеграла,
          найдутся
          \{
            \[
              \delta_1 > 0 : \forall{\tau_1, \xi_1} ~~\lambda(\tau_1) < \delta_1 \implies \abs{S(\tau_1, \xi_1, f) - I_1} < \varepsilon_0
            \], \[
              \delta_2 > 0 : \forall{\tau_2, \xi_2} ~~\lambda(\tau_2) < \delta_2 \implies \abs{S(\tau_2, \xi_2, f) - I_2} < \varepsilon_0
            \].
          \}
          Возьмём \(\delta_0 = \min\{\delta_1, \delta_2\}\), \(\tau\) --
          некоторое разбиение \([a,c]\), такое что \(\lambda(\tau) < \delta_0\),
          \(\xi\) -- набор точек, согласованный с \(\tau\).  Теперь можем
          состроить интегральную сумму \(S\), которая и будет в пределе
          значением интеграла на \([a, c]\), но нам всё портит точка \(b\).
          Выберем \(k\) таким образом, чтобы \(b\) попала на отрезок
          \(\Delta_k\): \[
            S = S(\tau, \xi, f) = \ldots + f(\xi_k)(x_k - x_{k + 1}) + \ldots
          \]. Эту сумму надо разбить надвое точкой \(b\) и попытаться свести к
          интегралам на \([a, b]\) и \([b, c]\).  Для того, чтобы это сделать,
          выберем разбиение \(\tau'\), добавив точку \(b\) к \(\tau\): \[
            \tau' \equiv \tau \cup \{b\}
          \].

          Построим согласованное с ним разбиение \(\xi'\), удалив из него
          \(\xi_k \in \Delta_k\): эта точка может оказаться и правее \(b\) и
          левее, поэтому она нам неудобна; и добавим вместо неё две точки:
          \(\xi'_k \in [x_{k - 1}, b]\) и \(\xi'_b \in [b, x_k]\), согласованную
          с \(b\).
          
          Теперь можно построить новую сумму \(S'\), пригодную для разбиения на
          части: \[
              S'(\tau', \xi', f) = \underbrace{\dots + f(\xi'_k)(b - x_{k -
              1})}_{S_1} + \underbrace{f(\xi'_b)(x_k - b) + \dots}_{S_2}
          \]. Теперь нужно показать, что суммы \(S\) и \(S'\) приведут нас к
          одному и тому же значению интеграла на \([a, c]\): \[
            \abs{S - S'} = \abs{f(\xi_k)(x_k - x_{k - 1}) - f(\xi'_k)(b - x_{k
            - 1}) - f(\xi'_b)(x_k - b)} \le 3\mathcal{M} \lambda(\tau)
          \].

          Суммы \(S_1\) и \(S_2\) сходятся к значениям интеграла на
          соответствующих промежутках. Нетрудно видеть, что
          \{
            \[
              \abs{S'_1 - I_1} < \varepsilon_0
            \], \[
              \abs{S'_2 - I_2} < \varepsilon_0
            \].
          \}
          Отсюда следует, что
          \begin{align*}
            \abs{S' - (I_1 + I_2)} \le \abs{S'_1 - I_1} + \abs{S'_2 + I_2} \le &2\varepsilon_0 \\
            \abs{S - (I_1 + I_2)} \le &2\varepsilon_0 + 3\mathcal{M}\lambda(\tau)
          \end{align*}
          Осталось лишь зажать всё это при помощи только лишь \(\varepsilon_0\)
          и продемонстрировать, что для каждого \(\varepsilon_0\) найдётся
          \(\delta_0\), для которой всё это будет выполняться. Будем выбирать
          \(\delta_0\) таким образом, что \(\lambda(\tau) < \delta_0\) и
          \(\mathcal{M}\delta_0 < \varepsilon\):
          \begin{align*}
            2\varepsilon_0 + 3\mathcal{M}\lambda(\tau) < 2\varepsilon_0 + 3\mathcal{M}&\delta_0 < 3\varepsilon_0\\
            3\mathcal{M}\lambda(\tau) < 3\mathcal{M}&\delta_0 < \varepsilon_0\\
            &\delta_0 = \frac{\varepsilon_0}{4\mathcal{M}}
          \end{align*}
        \end{proof}
      \item
        Пусть \(f : [a, b] \to \realnum\), интегрируема, непрерывна,
        неотрицательна; и оказалось, что \(\int\limits_a^bf(x)dx = 0\). Тогда
        \(\forall{x \in [a, b]} ~ f(x) = 0\).
        \begin{proof}
          Допустим, на отрезке \([a, b]\) есть точка \(x_0\), значение \(f(x_0) = \alpha\) в которой больше нуля.
          Функция непрерывна: \[
            \forall{\varepsilon > 0}~\exists{\delta > 0} : \forall{x \in
            U_{\delta}(x_0)}\quad f(x) \in U_{\varepsilon}(\alpha)
          \]. В частности, это верно при \(\varepsilon = \frac{\alpha}{2}\): \[
            \exists{\delta > 0} : \forall{x \in U_{\delta}(x_0)} \quad
            \frac{\alpha}{2} < f(x) < \frac{3\alpha}{2}
          \].
          
          Теперь построим функцию \[
            h(x) = \left\{\begin{array}{l r}
              \frac{\alpha}{2} & x \in U_{\delta_0}(x_0) \\
              0 & x\notin U_{\delta_0}(x_0) 
            \end{array}\right.
          \]. Заметим, что \(f(x) \ge h(x)\), и проинтегрируем их: \[
            0 = \int\limits_a^bf(x)dx \ge \int\limits_a^bh(x)dx =
            \underbrace{\int\limits_a^{x_0 - \delta_0} h(x)dx}_{=0} +
            \int\limits_{x_0 - \delta_0}^{x_0 + \delta_0}h(x)dx +
            \underbrace{\int\limits_{x_0 + \delta_0}^b h(x)dx}_{=0} =
            2\delta_0\frac{\alpha}{2} > 0
          \].
          Получили противоречие.
        \end{proof}
    \end{enumerate}
\section{Суммы Дарбу. Необходимое и достаточное условие интегрируемости.}
  \definition[колебание на отрезке]{
    Пусть \(f(x) : [a, b] \to \realnum\) -- ограниченная функция. \(\tau\) --
    разбиение отрезка \([a, b]\).
    
    Обозначим:
    \begin{align*}  
      \mathcal{M}_k &= \sup\limits_{x \in \Delta_k} f(x) &
      m_k = \inf\limits_{x \in \Delta_k} f(x) \\
    \end{align*}
    \(\omega_k \equiv \mathcal{M}_k - m_k\) будем называть \defined{колебанием}
    функции на \(\Delta_k\).
    
    \index{суммы Дарбу}
    Тогда сумма \[
      \Darbu(f, \tau) = \sum\limits_{k = 1}^{n} \mathcal{M}_k \abs{\Delta_k}
    \] называется \defined[верхняя сумма Дарбу]{верхней суммой Дарбу}, a \[
      \darbu(f, \tau) = \sum\limits_{k = 1}^{n} m_k \abs{\Delta_k}
    \] -- \defined[нижняя сумма Дарбу]{нижней суммой Дарбу}.
  }

  Свойства сумм Дарбу:
  \begin{enumerate}
    \item
      Для произвольного набора \(\xi\) верно
      \begin{alignat*}{3}
        \darbu(f, \tau)    \le&&  S(\tau, \xi&, f)&  &\le \Darbu(f, \tau) \\
        \text{так как}\quad m_k  \le&&  f(\xi&_k)&    &\le \mathcal{M}_k
      \end{alignat*}
    \item
      От добавления новой точки в разбиение \(\tau\) верхняя сумма Дарбу не
      увеличивается, а нижняя -- не уменьшается.
      \begin{proof}
        Добавим в \(\tau\) \(x' \in \Delta_k\). Получится набор \(\tau' = \tau
        \cup x'\).  Получим тогда новые отрезки:
        \def\Forwardstroke{'\hspace{-2pt}}
        \def\ForwardStroke{\hspace{2pt}'\hspace{-3pt}}
        \begin{align*}
          \Delta'_k &= [x_{k-1}, x'] & \mathcal{M}'_k = \sup\limits_{x \in \Delta'_k} f(x) \\
          \Forwardstroke\Delta_k &= [x', x_k] & \Forwardstroke\mathcal{M}_k = \sup\limits_{x \in '\Delta_k} f(x)
        \end{align*}
        Теперь рассмотрим минус изменение суммы: \[
          \Darbu(\tau, f) - \Darbu(\tau', f) = \mathcal{M}_k\abs{\Delta_k} -
          \mathcal{M}'_k\abs{\Delta'_k} -
          \ForwardStroke\mathcal{M}_k\abs{\Forwardstroke\Delta_k} =
          \mathcal{M}_k(\abs{\Delta'_k} + \abs{\Forwardstroke\Delta_k}) -
          \mathcal{M}'_k\abs{\Delta'_k} -
          \ForwardStroke\mathcal{M}_k\abs{\Forwardstroke\Delta_k} =
          \abs{\Delta'_k}\underbrace{(\mathcal{M}_k - \mathcal{M}'_k)}_{\ge 0} +
          \abs{\Forwardstroke\Delta_k}\underbrace{(\mathcal{M}_k -
          \ForwardStroke\mathcal{M}_k)}_{\ge 0} \ge 0
        \]. Разности \(\mathcal{M}_k\) неотрицательны, так как супремум на
        отрезке никак не мог уменьшиться от разбиения этого отрезка на две
        части. Для нижней суммы доказательство аналогично.
      \end{proof}
    \item
      Пусть \(\tau_1, \tau_2\) -- два разбиения отрезка \([a, b]\). Тогда
      \(\Darbu(f, \tau_1) \ge \darbu(f, \tau_2)\).
      \begin{proof}
        Обозначим \(\tau \equiv \tau_1 \cup \tau_2\).
        \[
          \Darbu(f, \tau_1) \ge \Darbu(f, \tau) \ge \darbu(f, \tau) \ge
          \darbu(f, \tau_2)
        \].
      \end{proof}
  \end{enumerate}

  Пусть \(\tau_1, \tau_2\) -- два разбиения отрезка \([a, b]\). Тогда 
  \{
    \[
      \Darbu(f, \tau_1) \ge \darbu(f, \tau_2)
    \], \[
      \inf\limits_{\tau_1}\Darbu(f, \tau_1) \ge \darbu(f, \tau_2)
    \], \[
      \inf\limits_{\tau_1}\Darbu(f, \tau_1) \ge \sup\limits_{\tau_2}\darbu(f,
      \tau_2)
    \].
  \}
  \definition[верхний интеграл]{
    Инфимум множества всех возможных верхних сумм Дарбу \[
      I^*(f) = \inf\limits_{\forall\tau_1}\Darbu(f, \tau_1)
    \] называют \defined{верхним интегралом} функции \(f\).
  }
  \definition[нижний интеграл]{
    Супремум множества всех возможных нижних сумм Дарбу \[
      I_*(f) = \sup\limits_{\forall\tau_2}\darbu(f, \tau_2)
    \] называют \defined{нижним интегралом} функции \(f\).
  }

  \begin{theorem}
    Пусть \(f : [a, b] \to\realnum\), ограниченная. Тогда она интегрируема если
    и только если \[
      \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} \sum\limits_{k = 1}^{n} \omega_k\abs{\Delta_k} = 0
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \begin{rightproof}[\(f\) интегрируема]
      Рассмотрим произвольное \(\varepsilon_0\). По определению интегрируемости,
      \[
        \exists{\delta_0 > 0} : \forall{\tau : \lambda(\tau) < \delta_0},~
        \forall{\xi} = \{\xi_k\} \quad \abs{S(\tau, \xi, f) - I} < \varepsilon_0
      \]. Рассмотрим два набора \(\xi'' \supset \xi'\); для каждого из них сумма
      отличается от \(I\) не более чем на \(\varepsilon_0\), значит \[
        \abs{S(\tau, \xi', f) - S(\tau, \xi'', f)} < 2\epsilon_0
      \], то есть \[
        \abs{\sum\limits_{k = 1}^n \left( f(\xi'_k) -
        f(\xi''_k)\right)\abs{\Delta_k}} < 2\varepsilon_0
      \]. Также так как \(\mathcal{M}_k = \sup\limits_{x \in \Delta_k}f(x)\) и
      \(m_k = \inf\limits_{x \in \Delta_k}f(x)\), получим
      \{
        \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{f(\xi'_k) \in f(\Delta_k)} :
          f(\xi'_k) > \mathcal{M}_k + \varepsilon
        \], \[
          \forall{\varepsilon > 0} ~ \exists{f(\xi''_k) \in f(\Delta_k)} :
          f(\xi''_k) < m_k + \varepsilon
        \].
      \}
      В частности это верно для \(\varepsilon = \frac{\varepsilon_0}{2}\):
      \{
        \[
          \mathcal{M}_k - f(\xi'_k) < \frac{\varepsilon_0}{2}
        \], \[
          f(\xi''_k) - m_k < \frac{\varepsilon_0}{2}
        \].
      \}
      Ослабим неравенство, применив модуль, и получим
      \begin{align*}
        \abs{f(\xi'_k) - \mathcal{M}_k} &< \frac{\varepsilon_0}{2} &
        \abs{f(\xi''_k) - m_k} &< \frac{\varepsilon_0}{2}
      \end{align*}
      
      Это значит, что \(\abs{f(\xi'_k) - f(\xi''_k) - \omega_k} <
      \varepsilon_0\). Теперь подставим в сумму, обозначив её предварительно за
      \(\mathref{1}\):
      \{
        \[
          \mathref{1} = \sum\limits_{k = 1}^n \left(\omega_k - \Big(f(\xi'_k) -
          f(\xi''_k)\Big) \right)\abs{\Delta_k} \le \sum\limits_{k = 1}^n
          \varepsilon_0 \abs{\Delta_k} = \varepsilon_0 (b-a)
        \]. \intertext{С другой стороны, эта же сумма равна} \[
          \mathref{1} = \sum\limits_{k = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} -
          \underbrace{\sum\limits_{k = 1}^n \left( f(\xi'_k) -
          f(\xi''_k)\right)\abs{\Delta_k}}_{< 2\varepsilon_0}
        \].
      \}
      Так, мы получаем \[
        \sum\limits_{k = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} \le \varepsilon_0(b - a + 2)
      \]. Применив все сделанные ранее предположения и последнее неравенство,
      получаем: \[
        \forall{\varepsilon_0 > 0} ~ \exists{\delta_0} : \forall{\tau :
        \lambda(\tau) < \delta_0} \quad\quad \frac{\sum\limits_{k = 1}^{n}
        \omega_k\abs{\Delta_k}}{b - a + 2} < \varepsilon_0
      \]. А это означает, что \[
        \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} \cfrac{\sum\limits_{i = 1}^n
        \omega_k\abs{\Delta_k}}{b - a + 2} = \cfrac{1}{b - a +
        2}\lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n
        \omega_k\abs{\Delta_k} = 0
      \].
    \end{rightproof}
    \begin{leftproof}[\[
        \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} \sum\limits_{k = 1}^{n} \omega_k\abs{\Delta_k} = 0
      \]]
      Легко понять что
      \{
        \[
          \sum\limits_{k = 1}^n \omega_k \abs{\Delta_k}  = \Darbu(f, \tau) - \darbu(f, \tau)
        \], \[
          \darbu(f, \tau) \le I_* \le I^* \le \Darbu(f, \tau)
        \].
      \}
      Так как верхний и нижний интегралы функции -- свойство функции, не
      зависящее от выбора разбиения (см. определение), получаем с необходимостью
      \(I^* = I_*\). Обозначим их общее значение через \(I\). \[
        \darbu(f, \tau) \le I \le \Darbu(f, \tau)
      \]. Теперь рассмотрим некоторый \(\varepsilon_0 > 0\); по определению
      интеграла \[
        \exists{\delta_0 > 0} : \forall{\tau : \lambda(\tau) < \delta_0} \quad
        \sum\limits_{k = 1}^{n} \omega_k\abs{\Delta_k} < \varepsilon_0
      \].
      
      Рассмотрим некоторые наборы \(\tau : \lambda(\tau) < \delta_0\) и \(\xi =
      \{\xi_k\}\).
      \begin{alignat*}{3}
        \darbu(f, \tau) \le&& S(\tau, \xi&&, f) \le& \Darbu(f, \tau) \\
        \darbu(f, \tau) \le&& I&& \le& \Darbu(f, \tau) 
      \end{alignat*}
      Но тогда получим, что \[
        \abs{S(\tau, \xi, f) - I} \le \Darbu(f, \tau) - \darbu(f, \tau) =
        \sum\limits_{k = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} < \varepsilon_0
      \]. Получаем, что \[
        \forall{\varepsilon_0 > 0} \exists{\delta_0} : \forall{\xi, \tau :
        \lambda(\tau) < \delta_0} \quad \abs{S(\tau, \xi, f) - I} <
        \varepsilon_0
      \].
    \end{leftproof}
  \end{proof}
\section{Класс интегрируемых функций}
  \begin{theorem}
    Любая непрерывная на отрезке \([a, b]\) функция на нём интегрируема.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим некоторое \(\varepsilon_0 > 0\).  Из непрерывности \(f\) следует
    также по теореме Кантора, что она равномерно непрерывная, то есть \[
      \forall{\varepsilon_0 > 0} ~ \exists {\delta > 0} : \forall{x_1, x_2 \in
      [a, b]} \quad\quad \abs{x_1 - x_2} < \delta \implies \abs{f(x_1) - f(x_2)}
      < \varepsilon_0
    \]. Выберем некоторое \(\delta_0 > 0\), удовлетворяющее условиям.
    Выберем некоторое разбиение \(\tau : \lambda(\tau) < \delta_0\). \[
      \omega_k = \mathcal{M}_k - m_k = \sup\limits_{\Delta_k} f(x) -
      \inf\limits_{\Delta_k}f(x)
    \], так как \(f\) непрерывна на \(\Delta_k\).
    
    По этой же причине на отрезке \(\Delta_k\) найдутся такие точки:
    \{
      \[
        \overline{x}_k = \arg\max_{x \in \Delta_k} f(x) = \arg \mathcal{M}_k
      \], \[
        \underline{x}_k = \arg\min_{x \in \Delta_k} f(x) = \arg m_k
      \]
    \}
    Заметим, что так как они лежат на отрезке \(\Delta_k\), \[
      \abs{\overline{x}_k - \underline{x}_k} \le \abs{\Delta_k} \le
      \lambda(\tau) < \delta_0
    \]. Но тогда по равномерной непрерывности
    \{
      \[
        \abs{f(\overline{x}_k) - f(\underline{x}_k)} < \varepsilon_0
      \], \[
        f(\overline{x}_k) - f(\underline{x}_k) < \varepsilon_0
      \].
    \}
    Модуль можно сбросить исходя из определения -- максимум не может быть
    меньше минимума. Также заметим, что
    \begin{align*}
      \omega_k = \mathcal{M}_k - m_k = f(\overline{x}_k) - f(\underline{x}_k) &< \varepsilon_0\\
      \sum\limits_{k = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} &< \sum\limits_{k = 1}^n\varepsilon_0\abs{\Delta_k} =
      \varepsilon_0\sum\limits_{k = 1}^n\abs{\Delta_k} =
      \varepsilon_0(b - a)
    \end{align*}
    Применив все сделанные ранее предположения и последнее неравенство, получаем: \[
      \forall{\varepsilon_0 > 0} ~ \exists{\delta_0} : \forall{\tau :
      \lambda(\tau) < \delta_0} \quad\quad \frac{\sum\limits_{k = 1}^{n}
      \omega_k\abs{\Delta_k}}{b - a} < \varepsilon_0
    \]. А это означает, что \[
      \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} \frac{\sum\limits_{i = 1}^n
      \omega_k\abs{\Delta_k}}{b - a} = \frac{1}{b - a}\lim\limits_{\lambda(\tau)
      \to 0} \sum\limits_{i = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} = 0
    \].
  \end{proof}
  \begin{theorem}
    Любая ограниченная функция на \([a, b]\) с конечным числом точек разрыва
    интегрируема.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим произвольный \(\varepsilon_0 > 0\); обозначим точки разрыва как
    \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m\).  Возьмём \(\varepsilon_1,
    \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_m > 0\) так, чтобы \(\sum\limits_{i =
    1}^m \varepsilon_i = \varepsilon_0\).
    
    Обозначим отрезки \((\alpha_i - \varepsilon_i, \alpha_i + \varepsilon_i) =
    u_i\) и их объединение как \(U \equiv \bigcup\limits_{i = 1}^m u_i\).
    
    Теперь рассмотрим \(K = [a, b] \setminus U\). Там будут отрезки, соединяющие
    концы соседних отрезков и отрезки, соединяющие \(a\) с первым отрезком и
    конец второго отрезка с \(b\). Всего их не более \(m + 1\) штук, значит это
    замкнутое и ограниченное множество -- компакт, и можно применить теорему
    Кантора.
    
    Рассмотрим \(f\Big|_K\). Функция тут непрерывна, и применима теорема Кантора
    о равномерной непрерывности: для любого выбранного \(\varepsilon_0\) можно
    построить \[
      \delta_0 : \forall{x_1, x_2 \in K} \quad\quad \abs{x_1 - x_2} < \delta_0
      \implies \abs{f(x_1) - f(x_2)} < \varepsilon_0
    \]. Запомним этот факт и двинемся дальше.
    
    Так, аналогично предыдущему доказательству, какой \(\Delta\) мы бы ни
    выбрали на множестве \(K\), при условии \(\lambda(\tau) < \delta_0\) верно
    также \(\Delta \le \lambda(\tau) < \delta_0\).  Также будем выбирать
    \(\delta_0 < \varepsilon_0\).  Обозначим \[
      \Omega = \sup\limits_{x\in [a,b]}f(x) - \inf\limits_{x\in [a,b]}f(x)
    \]. 

    Рассмотрим \(\tau\) -- некоторое разбиение \([a, b]\), такое что
    \(\lambda(\tau) < \delta_0\). \[
      \sum\limits_{k = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} = \sum\limits_{\Delta_k \in
      K} \omega_k\abs{\Delta_k} + \sum\limits_{\Delta_k \in U}
      \omega_k\abs{\Delta_k} + \sum\limits_{\substack{\Delta_k\cap
      K\neq\varnothing\\\Delta_k\cap U\neq\varnothing}} \omega_k\abs{\Delta_k}
    \]. Оценим каждый член по отдельности.  По теореме Кантора, \[
      \sum\limits_{\Delta_k \subset K} \omega_k\abs{\Delta_k} \le
      \sum\limits_{\Delta_k \subset K} \varepsilon_0\abs{\Delta_k} \le
      \varepsilon_0(b - a)
    \]. (см. предыдущую теорему, там делалась как раз эта оценка).
    
    Так как \(\forall{k} \quad \omega_k \le \Omega\), \[
      \sum\limits_{\Delta_k \subset U} \omega_k\abs{\Delta_k} \le
      \sum\limits_{\Delta_k \subset U} \Omega\abs{\Delta_k} =
      \Omega\sum\limits_{\Delta_k \subset U} \abs{\Delta_k} \le
      m\varepsilon_0\Omega
    \]. Всего этих отрезков \(m\) штук, каждый имеет длину не более
    \(\varepsilon_0\).
    
    Оставшееся множество содержит не более \(2m\) отрезков, длина каждого из
    которых не больше \(\lambda(\tau)\).  Таким образом, \[
      \sum\limits_{\substack{\Delta_k\cap K\neq\varnothing\\\Delta_k\cap
      U\neq\varnothing}} \omega_k\abs{\Delta_k}\le
      \sum\limits_{\substack{\Delta_k\cap K\neq\varnothing\\\Delta_k\cap
      U\neq\varnothing}} \Omega\abs{\Delta_k}
      \le 2m\Omega \lambda(\tau) \le 2m\Omega\varepsilon_0
    \]. Отсюда, так же, как и в предыдущей теореме, получаем \[
      \lim_{\lambda(\tau) \to 0} \frac{\sum\limits_{k =
      1}^n\omega_k\abs{\Delta_k}}{b - a + 3m\Omega} = 0
    \].
  \end{proof}
  \begin{theorem}
    Если изменить значение интегрируемой функции в конечном числе точек, она
    останется интегрируемой.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Изначально функция была интегрируемой, следовательно ограниченной. Значит,
    было верно \[
      \lim\limits_{\lambda(\tau) \to 0} \sum\omega_k\abs{\Delta_k} = 0
    \]. Изменение значений в конечном числе точек сохраняет ограниченность.
    Там, где отрезки не поменялись, сумма тоже не поменялась.  Отрезков, которые
    как-то заденут изменения -- конечное число, и его можно оценить.
    
    Можно даже сказать, что изменения, затрагивающие функцию на конечном числе
    точек, но сохраняющие её ограниченной, оставляют её интегрируемой.
  \end{proof}
  Далее выясняется, что определённый интеграл останется тот же самый.
  \begin{proof}
    Интегральная сумма строится выбором точек \(\xi\). Но их можно просто всегда
    выбирать теми, которые не изменились. Но это и означает, что интегралы
    <<до>> и <<после>> совпадут, так как при удачном выборе \(\xi\) интегральные
    суммы совпадут.
  \end{proof}
  Это означает, что если функция не определена на конечном числе точек, можно
  доопределить её любым образом, так, чтобы она оказалась интегрируема, можно
  делать это как угодно, и интегрировать -- интегралы совпадут.
  
  \begin{theorem}
    Если функция интегрируема на отрезке \([a, b]\), то она интегрируема и на
    любом отрезке \([c, d]\), лежащем внутри него.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    \(\tau\) -- разбиение \([a, b]\). Будем строить его так, чтобы \(c, d \in
    \tau\). Затем можно будет разбить сумму на все отрезки, попавшие в \([c,
    d]\), и не попавшие. Вторые можно отбросить -- сумма только меньше. Тогда
    новая сумма оказывается зажатой между нулём и старой суммой, а она стремится
    к нулю. По теореме о двух стражах порядка получаем интегрируемость.
  \end{proof}
  \begin{theorem}
    Пусть \(f : [a, b] \to \realnum\), интегрируемая;
    \begin{align*}  
      y &= \inf_{x\in [a,b]}f(x) & Y &= \sup_{x \in [a,b]}f(x)
    \end{align*}
    \(g : [y, Y] \to \realnum\) -- непрерывная.  Тогда \(g(f(x))\) --
    интегрируема.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Функция \(f\) -- интегрируема, значит, ограниченная, следовательно её
    колебание на отрезке можно выразить как \[
      \omega_{[a, b]}(f) = \sup_{[a, b]} f - \inf_{[a, b]} f
    \]. Супремум, в свою очередь, можно интерпретировать как предел некоторой
    последовательности:
    \begin{align*}
      \sup_{[a, b]} f &= \lim_n f(\alpha_n) & \alpha_n &\in [a, b]
    \end{align*}
    Например, можно подобрать такую последовательность \(\alpha_n\), что \[
      \sup_{[a, b]} f - \frac{1}{n} < f(\alpha_n) < \sup_{[a, b]} f
    \] и по теореме о двух стражах порядка, \(\sup\limits_{[a, b]} f =
    \lim\limits_n f(\alpha_n)\).
    
    Логично, что так же можно поступить и с инфимумом, для которого найдётся
    подходящая последовательность \(\beta_n\). Так, возвращаясь к началу, имеем
    \{
      \[
        \omega_{[a, b]}(f) = \sup_{[a, b]} f - \inf_{[a, b]} f
      \], \[
        \omega_{[a, b]}(f) = \lim\limits_n f(\alpha_n) - \lim\limits_n
        f(\beta_n)
      \], \[
        \omega_{[a, b]}(g(f)) = \lim\limits_n g(f(\alpha_n)) - \lim\limits_n
        g(f(\beta_n))
      \].
    \}
    Последнее равенство верно в силу аналогичных соображений для колебания
    функции \(g(f(x))\).  Так как функция \(f(x)\) интегрируема, пределы во
    второй строке существуют, но это значит, в силу непрерывности \(g(x)\), что
    существуют пределы и в третьей строке. Для интегрируемости функции этого,
    правда, мало, так как его нужно ещё и зажать под бесконечно-малое.

    Функция \(g(x)\) непрерывна, значит, также и равномерно непрерывна.
    Рассмотрим некоторое \(\varepsilon_0\). Для него найдётся такое
    \(\delta_0\), что \[
      \forall{y_1, y_2 \in [y, Y]}  \pred{\abs{y_1 - y_2} < \delta_0 \implies
      \abs{g(y_1) - g(y_2)} < \varepsilon_0}
    \]. 

    Рассмотрим два вида отрезков.
    \begin{itemize}
      \item
        Рассмотрим все отрезки, такие что \(\omega_{\Delta_k} < \delta_0\).  Для
        них
        \begin{align*}
          \abs{f(\alpha_n) - f(\beta_n)} &\le \omega_{[a, b]}(f) < \delta_0 \\
          \abs{g(f(\alpha_n))} - \abs{g(f(\beta_n))} \le \abs{g(f(\alpha_n)) - g(f(\beta_n))} &< \varepsilon_0
        \end{align*}
        Последнее верно в силу равномерной непрерывности \(g(x)\), а также
        неравенства треугольника. Так как неравенство \(\abs{g(f(\alpha_n))} -
        \abs{g(f(\beta_n))} < \varepsilon_0\) выполняется при любом \(n\), в нём
        можно перейти к пределу: \[
            \omega_{[a, b]}(g(f)) = \lim\limits_n (g(f(\alpha_n)) - g(f(\beta_n))) < \varepsilon_0
        \]. Так, получаем оценку \(\omega_{\Delta_k} (g(f)) \le \varepsilon_0\).
        
        Теперь можно оценить и сумму колебаний \(g(f(x))\): \[
            \sum_k\omega_{\Delta_k}(g(f))\abs{\Delta_k}\le \varepsilon_0(b - a)
        \]. 

      \item
        Теперь можно заняться теми отрезками, для которых \(\omega_{\Delta_k} \ge
        \delta_0\). Что означает интегрируемость функции? \[
            \forall{\sigma > 0} ~ \exists{\rho > 0} : \forall{\tau : \lambda(\tau)
            < \rho} \pred{\sum\limits_{k = 1}^n \omega_{\Delta_k}(f)\abs{\Delta_k}
            < \sigma}
        \]. Отсюда имеем \(\sum\limits_k \omega_{\Delta_k}(f)\abs{\Delta_k} <
        \sigma\), тогда \[
            \delta_0 \sum\limits_k \abs{\Delta_k} \le \sum_k
            \omega_{\Delta_k}(f)\abs{\Delta_k} < \sigma
        \] и получаем оценку \(\sum\limits_k\abs{\Delta_k} \le
        \frac{\sigma}{\delta_0}\).

        Определим \(\Omega = \omega_{[a, b]}(g(f))\). Оно будет зависеть только от
        функций \(f\) и \(g\), а также отрезка \([a, b]\), на котором решается
        задача.
        
        При помощи этой величины можно оценить суммы в данном случае: \[
          \sum\limits_k\omega_{\Delta_k} (g(f(x))) \abs{\Delta_k} \le
          \Omega\sum\limits_k{\Delta_k} \le \Omega\frac{\sigma}{\delta_0}
        \].
    \end{itemize}

    Теперь у нас есть оценка сумм для обоих случаев, и можно оценить сумму для всех отрезков сразу:
    \begin{align*}
    \sum\limits_{k = 1}^n \omega_{\Delta_k} g(f(x)) \abs{\Delta_k} \le
            \varepsilon_0 (b - a) + \Omega\frac{\sigma}{\delta_0} < \varepsilon_0 (b - a + 1)
    \end{align*}
  \end{proof}

  \begin{consequences}
    \item
      Если \(f\) интегрируема, то и \(\abs{f}\) интегрируема.
    \item
      Если \(f\) интегрируема, то и \(f^2\) интегрируема.
    \item
      Если \(f\), \(g\) интегрируемы, то \(fg\) интегрируема: \(fg = \frac{1}{4}(f + g)^2 - f^2 - g^2\).
  \end{consequences}

  \begin{theorem}
    Все ограниченные монотонные функции интегрируемы.
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Пусть для определённости \(f\) возрастает.  Тогда \(\omega_k = f(x_k) -
    f(x_{k - 1})\). Тогда сумма таких слагаемых \[
      \sum_k \omega_k\abs{\Delta_k} = \sum_k\Big(f(x_k) - f(x_{k -
      1})\Big)\abs{\Delta_k} \le \lambda(\tau)\sum_k \Big(f(x_{k}) - f(x_{k -
      1})\Big) = \lambda(\tau)(f(b) - f(a))
    \]. Легко увидеть, что последнем переходе все лишние слагаемые
    аннигилируются.
  \end{proof}

  \subsection{Необходимое и достаточное условие интегриуемости по Риману}
    \definition[нулевая мера]{
      Пусть \(A\) -- некоторое ограниченное подмножество отрезка \([a, b]\).
      Будем говорить, что \(A\) \defined{имеет меру 0} и писать так:
      \(\measure{A} = 0\), если существует такое счётное семейство интервалов,
      что \(A\) содержится в их объединении и сумма их длин равна
      нулю\footnote{пока непонятно, что это значит, так как это сумма ряда, а
      рядов мы ещё не определяли. Здесь скажем \(\forall{\varepsilon > 0}
      \forall N \in \mathbb{N} \sum_{i = 1}^n \abs{U_i} < \varepsilon\)}.
    }
    \begin{theorem}[теорема Баера]
      Функция интегрируема на отрезке если и только если она ограничена и
      множество точек разрыва имеет меру 0.
    \end{theorem}
    Это утверждение носит имя теоремы Баера, и приводится здесь без
    доказательства.
\section{Формула Ньютона-Лейбница}
  Рассмотрим интегрируемую на \([a, b]\) функцию \(f\). Сразу заметим, что она
  ограничена, и обозначим через \(L\) её границу по модулю.  Введём в
  рассмотрение функцию \(\Phi(t) = \int\limits_a^t f(x)dx\).
  \begin{theorem}
    \(\Phi(t)\) непрерывна на \([a, b]\).
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассмотрим некоторые \(t_1, t_2 \in [a,b] : t_2 > t_1\). \[
      \abs{\Phi(t_2) - \Phi(t_1)} =
      \abs{\int\limits_{t_1}^{t_2}f(x)dx} \le
      \int\limits_{t_1}^{t_2}f(x)dx \le \int\limits_{t_1}^{t_2}Ldx = L(t_2 -
      t_1)
    \].
  \end{proof}
  \begin{theorem}
    Пусть точка \(t_0 \in [a,b]\) такая, что \(f\) в ней непрерывна. Тогда
    существует \(\Phi'(t_0) = f(t_0)\)
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Рассчитаем производную по определению: \[
      \lim_{h\to 0} \frac{\int\limits_{t_0}^{t_0 + h}f(x)dx}{h}
    \]. А, кстати, \(h\) может быть меньше нуля. Доопределим определённый
    интеграл:
    \begin{align}
      a &< b & \int\limits_{b}^af(x)dx \equiv -\int\limits_a^bf(x)dx
    \end{align}
    Тогда все хорошие свойства сохранятся.
    
    Теперь применим теорему о среднем:
    \begin{align*}
      \exists{c \in [t_0, t_0 + h]} : &\int\limits_{t_0}^{t_0 + h} f(x) dx = f(c) \int\limits_{t_0}^{t_0 + h}dx\\
        &\int\limits_{t_0}^{t_0 + h} f(x)dx = f(c)h
    \end{align*}
    Отсюда \[
      \lim_{h\to 0} \frac{\int\limits_{t_0}^{t_0 + h}f(x)dx}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c)h}{h} = \lim_{h \to 0} f(c) \underset{t_0 \le c \le t_0 + h}{=} f(t_0)
    \].
  \end{proof}

  Собственно, формула (которую и так все знают) \[
    \int\limits_a^b f(x)dx = F(x)\Bigg|_a^b \equiv F(b) - F(a)
  \]. Здесь \(F\) -- любая первообразная \(f\).
  \index{формула Ньютона-Лейбница}
  \begin{proof}
    Рассмотрим снова \(\Phi(t)\). Как мы уже доказали, \(\Phi'(t) = f(t)\).
    Значит, \(\Phi(t)\) -- некоторая первообразная \(f\).  Но тогда \(\Phi(x) -
    F(x) = C\). Узнаем \(C\), подставив \(x = a\): \(\Phi(a) - F(a) = C\), тогда
    \(C = -F(a)\) Подставим теперь \(x = b\). \(\Phi(b) = F(b) - F(a) =
    \int\limits_a^bf(x)dx\)
  \end{proof}
  Кстати, можно записать и так:
  \begin{align*}
    \int\limits_a^{x_0} f'(x)dx &= f(x_0) - f(a) \\
    f(x_0) &= f(a) + \int\limits_a^{x_0} f'(x)dx
  \end{align*}
  Это равенство называют теоремой Барроу.
  
  Это привело к вопросу об обобщении интеграла Римана. Идея Римана: разбить на
  очень узкие столбики и по ним просуммировать.  Это разумно, когда функция
  непрерывна, или разрывна в конечном числе точек. Тем не менее, у этой
  конструкции имеется недостаток: точки группируются неестественно -- по
  близости на оси Ox, не обращая внимания на значения. Тогда надо группировать
  точки по близости значений функции. Нужно разбить область значений, для
  каждого отрезка посмотреть, какие аргументы дают такие значения, и
  сгруппировать.
  
  Можно доказать, что для непрерывных функций это та же конструкция. А вот для
  плохих функций всё до сих пор не совсем понятно.
  
  Например, для функции Дирихле: прообраз единицы -- рациональные числа, нуля --
  иррациональные. Но непонятно, что такое "длина" рациональных или
  иррациональных чисел. Так появилась \emph{теория меры}.
  
  Оказалось, что и у этой конструкции есть огрехи, но они устранялись
  дальнейшими обобщениями; но переход к интегралу Лебега можно сравнить с
  переходом от воздушного шара к самолёту, а всё остальное -- как просто
  усовершенствования.
  
  Здесь рекомендуется почитать книгу Натансона <<Теория функций вещественной
  переменной>>\cite{nathanson}.
\section{Следствия из формулы Ньютона-Лейбница}
  \subsection{Интегрирование по частям.}
    \(f(x)g(x)\) -- первообразная для \(f'(x)g(x) + g'(x)f(x)\). Тогда
    \begin{alignat*}{3}
      f'(x) g(x) + f(x)g'(x)&& =&& (&f(x)g(x))' \\
      \int\limits_a^b (f'(x)g(x) + f(x)g'(x) &&)dx =&&& f(x)g(x)\Bigg|_a^b  \\
      \int\limits_a^b f'(x)g(x)dx + \int\limits_a^b f(x)g'(x)&&dx =&&& f(x)g(x)\Bigg|_a^b  \\
      \int\limits_a^b f(x)g'(x)&&dx =&&& f(x)g(x)\Bigg|_a^b - \int\limits_a^b f'(x)g(x)dx
    \end{alignat*}
%    Будет часто встречаться обозначение
  \subsection{Формула замены переменной}
    Пусть \(f : [a, b] \to\realnum\), непрерывная; пусть \(\varphi(t) : [\alpha,
    \beta] \to [a, b]\), непрерывная, такая что \(\varphi(\alpha) = a\),
    \(\varphi(\beta) = b\), и имеет производную \(\varphi' : [\alpha, \beta] \to
    \realnum\).  Тогда \(\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta}
    f(\varphi(t))dt\).
    \begin{proof}
      Пусть \(F(x)\) -- первообразная \(f(x)\). Тогда \[
        \int\limits_a^b f(x)dx = F(x)\Bigg|_a^b
      \]. Посчитаем производную \(F(\varphi(t))\): \[
        \Big(F(\varphi(t))\Big)' = F'(\varphi(t))\varphi'(t) =
        f(\varphi(t))\varphi'(t)
      \]. Теперь посчитаем, собственно, первообразную: \[
        \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t))\varphi'(t)dt =
        F(\varphi(t))\Bigg|_{\alpha}^{\beta} = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) =
        F(b) - F(a) = \int\limits_a^b f(x)dx
      \].
    \end{proof}
\section{Вторая теорема о среднем}
  \begin{theorem}[первая формула Бонне]
    Пусть \(f : [a, b] \to\realnum\), не возрастает и неотрицательна; \(g : [a, b] \to\realnum\), интегрируема.
    Тогда
    \begin{align*}
      \exists{c \in [a,b]} : \int\limits_a^b f(x)g(x)dx &= f(a)\int\limits_a^c g(x)dx
    \end{align*}
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Пусть \(\tau\) -- разбиение \([a, b]\).  \[
      \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = \sum\limits_{k = 1}^n \int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} f(x)g(x)dx
      = \sum\limits_{k = 1}^n \int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} (f(x) - f(x_{k - 1}) + f(x_{k - 1}))g(x)dx
      = \sum\limits_{k = 1}^n \int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} (f(x) - f(x_{k - 1}))g(x)dx +
        \sum\limits_{k = 1}^n f(x_{k + 1})\int\limits_{x_{k - 1}}^{x^k} g(x)dx
    \]. \(g(x)\) интегрируема, значит, ограниченна: \[
      L > 0 : \forall{x \in [a, b]} \abs{g(x)} \le L
    \]. Оценим сумму по модулю (предел существует и равен нулю, так как
    \(f\) монотонна и, очевидно, ограниченна, следовательно интегрируема): \[
      \abs{\sum\limits_{k = 1}^n \int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} (f(x) - f(x_{k -
      1}))g(x)dx} \le
      \sum\limits_{k = 1}^n \abs{\int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} (f(x) - f(x_{k -
      1}))g(x)dx} \le
      \sum\limits_{k = 1}^n \int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} \abs{(f(x) - f(x_{k -
      1}))}\abs{g(x)}dx \le
      \sum\limits_{k = 1}^n L\int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} \abs{(f(x) - f(x_{k -
      1}))}dx \le
      L\sum\limits_{k = 1}^n \omega_k\abs{\Delta_k} \underset{\lambda(\tau) \to
      0}{\to} 0
    \]. Определим функцию \[
      G(x) \equiv \int\limits_{a}^{x} g(t)dt
    \]. Заметим, что \(G\) -- первообразная для \(g\). Тогда \[
      \int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k} g(x)dx = G(x_k) - G(x_{k - 1})
    \]. Преобразуем \(S\): \[
      S = \sum\limits_{k = 1}^{n} f(x_{k - 1})\int\limits_{x_{k - 1}}^{x_k}
      g(x)dx =
      \sum\limits_{k = 1}^{n} f(x_{k - 1})(G(x_k) - G(x_{k - 1})) = 
      \sum\limits_{k = 1}^nf(x_{k - 1})G(x_k) - \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}
      f(x_k)G(x_k) =
      \overbrace{f(x_{n - 1})G(b)}^{k = n} +
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} f(x_{k - 1})G(x_k) -
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} f(x_k)G(x_k) - 
        \overbrace{\underbrace{f(a)G(a)}_{=0}}^{k = 0} =
      f(x_{n - 1})G(b) + \sum\limits_{k = 1}^{n - 1}G(x_k)\bigg(f(x_{k - 1}) -
      f(x_k) \bigg)
    \]. 

    Заметим, что \(G\) -- непрерывная функция, значит на отрезке \([a, b]\) она имеет минимум и максимум:
    \begin{align*}
      m &= \min\limits_{x \in [a, b]} G(x) & \mathcal{M} &= \max\limits_{x \in [a, b]} G(x)
    \end{align*}
    Оценим сумму \(S\), подставив \(m\) и \(\mathcal{M}\) на место \(G\): \[
      mf(a) = m\left(f(x_{n - 1}) + \sum\limits_{k = 0}^{n - 2} f(x_{k}) -
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} f(x_k) \right) =
      m \left(f(x_{n - 1}) +
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \bigg( f(x_{k - 1}) - f(x_k)\bigg)\right) = 
      f(x_{n - 1})m +
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1}m \bigg(f(x_{k - 1}) - f(x_k)\bigg) \le S 
      \le f(x_{n - 1})\mathcal{M} +
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1}\mathcal{M} \bigg(f(x_{k - 1}) - f(x_k)\bigg) = 
      \mathcal{M}\left(f(x_{n - 1}) +
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} \bigg( f(x_{k - 1}) - f(x_k)\bigg)\right) = 
      \mathcal{M}\left(f(x_{n - 1}) +
        \sum\limits_{k = 0}^{n - 2} f(x_{k}) -
        \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} f(x_k) \right) = \mathcal{M}f(a)
    \]. Если \(f(a) = 0\), то так как \(f\) невозрастающая и неотрицательная,
    она окажется тождественно равной нулю, тогда подходит любое \(c\).  Если же
    \(f(a) \neq 0\), имеем право на него разделить. Так как \(f\)
    неотрицательна, знак не поменяется. \[
      m \le \frac{1}{f(a)} \int\limits_{a}^bf(x)g(x)dx \le \mathcal{M}
    \]. Тогда по теореме Больцано-Коши \[
      \exists{c \in [a, b]} : \frac{1}{f(a)} \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = G(c) = \int\limits_a^c g(x)dx
    \]. Домножим на \(f(a)\) и получим то, что и требовалось доказать.
  \end{proof}

  Теперь вторую формулу Бонне можно получить как следствие из первой:
  \begin{theorem}[вторая формула Бонне]
    Пусть \(f : [a, b] \to \realnum\) неотрицательна и не убывает; \(g : [a, b]
    \to \realnum\) -- интегрируема. Тогда \[
      \exists{c \in [a, b]} : \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = \int\limits_c^bg(x)
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Обозначим \(t = (b + a) - x\). \[
      \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = \mathref{1} = -\int\limits_b^a f(b + a - t)
      g(b + a - t)dt = \int\limits_a^b f(a + b - t) g(a + b - t)
    \]. Также обозначим
    \{
      \[
        f'(t) \equiv f(a + b - t)
      \], \[
        g'(t) \equiv g(a + b - t)
      \].
    \}
    Из первой теоремы, \[
      \exists{c' \in [a, b]} : \mathref{1} = \int\limits_a^b f'(t)g'(t)dt =
      f'(a) \int\limits_a^{c'} g'(t)dt = f((a + b) - a) \int\limits_a^{c'} g(a +
      b - t)dt = f(b) \int\limits_b^{a + b - c'} g(x)(-dx) = f(b)\int\limits_{a
      + b - c'}^bg(x)dx
    \]. То есть, \[
      \exists{c \in [a, b]} : \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = f(b)\int\limits_c^b g(x)
    \].
  \end{proof}
  \begin{theorem}[вторая теорема о среднем]
    Пусть \(f : [a, b] \to \realnum\) -- нестрого монотонная, \(g : [a, b] \to
    \realnum\) -- интегрируема. Тогда \[
      \exists{x \in [a, b]} : \int\limits_a^b f(x)g(x) dx = f(a) \int\limits_a^c
      g(x)dx + f(b) \int\limits_c^b g(x)dx
    \].
  \end{theorem}
  \begin{proof}
    Пусть для определённости \(f\) не возрастает. Определим \(\tilde{f}(x)
    \equiv f(x) - f(b)\). Заметим, что \(\tilde{f}(x) \ge 0\), а также не
    убывает. \(f(x) = \tilde{f}(x) + f(b)\). \[
      \int\limits_a^b f(x)g(x)dx = \mathref{2} = \int\limits_a^b
      \big(\tilde{f}(x) + f(b)\big)g(x)dx = \int\limits_a^b \tilde{f}(x)g(x)dx +
      f(b)\int\limits_a^b g(x)dx
    \]. По отношению к \(\tilde{f}(x)\) применим первую формулу Бонне: \[
      \exists{c \in [a, b]} : \mathref{2} = \tilde{f}(a)\int\limits_a^c g(x)dx +
      f(b)\int\limits_a^b g(x)dx = \big(f(a) - f(b)\big) \int\limits_a^c g(x)dx
      + f(b)\int\limits_a^b g(x)dx = f(a)\int\limits_a^c g(x)dx +
      f(b)\left(\int\limits_a^b g(x)dx - \int\limits_a^c g(x)dx\right) = f(a)
      \int\limits_a^c g(x)dx + f(b) \int\limits_c^b g(x)dx
    \]. Для неубывающей функции доказательство аналогично, но применяется вторая
    формула Бонне.
  \end{proof}

